Matematycznie ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej pochodzi od Paula Diraca i Johna von Neumanna. W tym sformułowaniu stan układu kwantowego (stan czysty) reprezentowany jest przez wektor jednostkowy (nazywany
wektorem stanu) w zespolonej przestrzeni Hilberta (nazywanej często
przestrzenią stanów układu fizycznego).
Każda wielkość fizyczna (
obserwabla) reprezentowana jest przez hermitowski (lub samosprzężony) operator liniowy działający w przestrzeni stanów (przestrzeni Hilberta). Zbiór wartości własnych tego operatora, nazywany
widmem punktowym operatora, interpretujemy jako zbiór możliwych wartości obserwowalnych (pomiarowych). Dla hermitowskich operatorów wartości w widmie są liczbami rzeczywistymi co stanowi motywacje ich wprowadzenia w takiej a nie innej roli. Stany własne tego operatora do tych wartości własnych interpretujemy jako możliwe stany, w których znajdzie się układ po dokonaniu pomiaru.
Alternatywnym sformułowaniem jest feynmanowskie funkcjonalne całkowanie po trajektoriach. Jest to odpowiednik zasady najmniejszego działania w mechanice klasycznej.
linka-szklanka
pękła jak sztywna bańka
irytujący dźwięk świateł dla pieszych zamienił się w kardiogram
pik-pik
rozbite szkło w sukience
zdjęło sukienkę, nie zasługuję na sukienkę
pik-pik
No one's picking up the phone
Guess it's clear he's gone
And this little masochist
Is lifting up her dress
Guess I thought I could never feel
The things I feel
Hey Jupiter
płacz, maleńka pęknięta szklanko, płacz jak żeś głupia
Thought I knew myself so well
All the dolls I had
Took my leather off the shelf
Your apocalypse was fab
For a girl who couldn't choose between
The shower or the bath
problem w tym, że bez tego moje życie byłoby pustką
pustką bez "odśwież" ślad w witrynie
pustką bez czekania na spotkanie na ulicy
pustką bez pamiętania układu żył na przegubie
If my hearts soaking wet
Boy your boots can leave a mess
brudzę się o siebie
o trzymaną kurczowo nitkę pełną smaru
owija się wokół szyi, a ja dalej trzymam
linka- szklanka
desperatka, szachrajka, nudna makatka
la stanu czystego reprezentowanego przez wektor

odpowiadający mu operator to
,
czyli operator rzutowy rzutujący na jednowymiarową podprzestrzeń

przestrzeni Hilberta

.
Z kolei dla stanu mieszanego składającego się z (nieinterferujących ze sobą) składników

odpowiadający mu operator gęstości to
,
gdzie
λi to prawdopodobieństwa znalezienia poszczególnego składnika. Muszą one spełniać

dla każdego
i oraz
Jest to operator o wartościach własnych
λi stowarzyszonych (odpowiednio) z wektorami własnymi

.
Dzięki temu, że powyższe równanie jest liniowe, w wyprowadzeniu można ograniczyć się do stanów czystych. Istotna jest także samosprzężoność hamiltonianu.
-